О логарифмической природе сравнения

Публикация этой заметки состоялась после чтения интереснейшего очерка Татьяны Бойко — Назаровой «Ферма и Солнце» на близкую мне тему.

… Звуки умертвив,

Музыку я разъял, как труп. Поверил

Я алгеброй гармонию.

А.С. Пушкин. «Моцарт и Сальери».

О логарифмической природе сравнения

Под сравнением обычно понимают количественное или качественное сопоставление характеристик, явлений, эмоциональных и психических реакций, сопровождающих жизнь человека. При сравнении часто пользуются такими простейшими понятиями как «больше — меньше», «дальше — ближе», «хуже-лучше», «красивее — безобразнее» и т. д.

Строго говоря, сравнение — понятие математическое. Оно является основой измерений, при которых данную величину сопоставляют с другой, например, с эталонной мерой. В том случае, когда необходимо привести количественные характеристики сравнения, прибегают к понятиям «на сколько», «во сколько раз», «на сколько процентов» и т.д. Важность количественных сравнений для людей столь велика, что правилами для таких сравнений занимается целая наука, называемая метрологией.

Иначе сравнивают качественные характеристики. В быту обычно ограничиваются субъективными оценками в форме сравнительных степеней прилагательных. Афористическая формула «всё познаётся в сравнении», при всей своей принципиальной верности, ничего не говорит, каким образом производится сравнение. Ведь приёмником информации являются только органы чувств человека, а анализатором его субъективные мыслительные способности. Недаром есть латинское выражение «Omnis comparatio claudicat – всякое сравнение хромает». Поэтому объективные методы сравнения в науке и технике издавна интересовали людей. И многое в этом направлении было сделано.

Звёзды, различимые человеческим глазом (их примерно 6000), ещё с древности делились по яркости на 6 величин (градаций). Это деление было обусловлено физиологическим порогом различимости соседних по яркости звёзд, видимых невооружённым глазом. Каждая градация по яркости отличается от соседней постоянным множительным коэффициентом. Оно составляет примерно 2,5 раза (точная величина, используемая в расчётах 2,512). При логарифмировании это соответствует одной градации. Изменение яркости звёзд в одинаковое число раз воспринимается глазом как изменение на одинаковую величину. Эта зависимость справедлива для всего множества небесных светил, в том числе наблюдаемых с помощью самых больших оптических телескопов. Таковых светил сейчас насчитывается несколько миллиардов. И все они по светимости умещаются в 23 градации, что соответствует 23 «звёздным величинам». 

Это пример практического использования, так называемой, логарифмической шкалы в том случае, когда сравниваемые параметры можно представить в виде геометрической прогрессии.

Другой пример — это современный музыкальный звукоряд, построенный по логарифмическому закону. Как известно, он охватывает диапазон звуковых частот от «до» субконтроктавы до «ре» пятой октавы. Всего около семи октав. Тон каждой октавы отличаются по частоте от соответствующего тона соседней октавы в 2 раза. Октава поделена на 12 равных полутонов, отличающихся от соседней по частоте в ¹²√2 (1.0594) раза. Полутона октавы равны в логарифмическом смысле, то есть они содержат разное количество герц, но постоянное количество центов (цент — логарифмическая единица частотного интервала в акустике, один полутон, содержит 100 центов). Нормальное человеческое ухо отличает по высоте только соседние полутона. А тренированное ухо настройщика отличает изменение высоты тона на несколько центов. Это удаётся даже не каждому профессиональному музыканту. Такое тонкое разрешение возможно только путём сравнения звучания при резонансе, чем и пользуется настройщик.

Музыкальная шкала фортепиано. Частотам тонов и полутонов в Гц соответствуют линейно расположенные на инструменте клавиши и линейная запись звуков на нотах («Усилители и радиоузлы» Сворень Р. А).

Заметим, что, в обоих примерах различие соседних градаций (звёздной величины и полутона) определяются физиологическими возможностями органов чувств человека с нормальной остротой зрения и хорошим (но необязательно абсолютным!) музыкальным слухом.

Методы сравнения c использованием логарифмической шкалы и логарифмических единиц применяются достаточно широко в науке и технике. Помимо акустики и астрономии — это геофизика, в частности, известная шкала Рихтера магнитуды землетрясений.

Эта шкала классификации землетрясений была предложена в 1935 году американским сейсмологом Чарльзом Рихтером (1900‑1985) и получила распространение во всем мире. Каждое целое значение шкалы в масштабе указывает на землетрясение, в десять раз большее по мощности, чем предыдущее (http://arktal.livejournal.com/50336.html).

В электрорадиотехнике и приборостроении – логарифмические шкалы применяются при оценке технических характеристик приборов, работающих в широком динамическом диапазоне измерений. Для измерения величин радио и акустических сигналов и потерь при их прохождении в реальной среде уже давно применяют специальные логарифмические единицы – децибелы (10 lg U₁/U₂ — по мощности и 20 lg U₁/U₂ — по интенсивности сигнала, здесь, U₁ и U₂ — значения сравниваемых параметров). Эти единицы отражают свойство логарифмической шкалы, как объективной меры сравнения соседних градаций. В частности, в децибелах оценивают уровень звука, воспринимаемого ухом человека: от порога «слышимости» (1дБ) до «болевого» порога» (примерно 90 децибел).

Логарифмические нормы используют также при проектировании и стандартизации промышленных изделий на основе нормальных рядов параметров, допусков, погрешностей, типоразмеров, являющихся членами геометрической прогрессии. Особое значение, в наш промышленный век приобретают экологические нормы защиты. Здесь также не обойтись без перевода измеряемых параметров в их логарифмические эквиваленты. Для упорядочения используемых логарифмических единиц известный советский инженер-радиотехник Г.Г. Гинкин предложил ввести понятие универсальной логарифмической единицы — децилога, наподобие уже установившего в технике децибела.

Приведённые выше примеры сравнительных оценок яркости звёзд и характеристик звука в логарифмической форме, вместо обычно применяемых человеком качественных сравнений, дают основания поставить вопрос: а не существует ли некая общая закономерность в оценке человеком любых ощущений?

Известно, что реакция живых организмов на внешние воздействия основана на сравнении с предшествующим состоянием. Если эти воздействия длительно повторяются, то происходит адаптация к ним и закрепление новых свойств и признаков по логарифмическому закону. Действительно, даже внешне природа демонстрирует различные примеры наследственно закреплённых реакций живых организмов на изменения окружающей среды в виде природных форм, математически описываемых логарифмической функцией (или обратной ей экспоненциальной).

Примечание. У графика такой функции y = logx ординаты возрастают в арифметической прогрессии, абсциссы – в геометрической. У графика обратной, или показательной (экспоненциальной), функции y = e^x, ординаты возрастают в геометрической прогрессии, а абсциссы – в арифметической. Арифметическая прогрессия в этих случаях есть последовательность сравниваемых величин в логарифмических единицах. Например, отношение интенсивностей (напряжённостей) сигнала в 1000 раз равна в логарифмических единицах 60 дБ.

По логарифмическому закону выстраиваются цветы в соцветиях подсолнечника, закручиваются раковины моллюсков, рога горного барана, траектории некоторых насекомых, летящих на свет, образуются воронки в стоячей воде, закручиваются волны морского прилива и вихри тайфуна в атмосфере. Все эти природные формы и явления могут описываться математической кривой, известной под названием логарифмической спирали. Такую кривую описывает движущаяся точка, расстояние от полюса которой растет в геометрической прогрессии, а угол, описываемый её радиусом — вектором – в арифметической.

Логарифмическая спираль позволяет сказать иначе, чем обычно принято: «Всё не только познаётся, но и создаётся в сравнении».

Примеры таких в природных созданий:

Некоторые растения выстраивают свои соцветия в форме логарифмической спирали (https://dusintors.wordpress.com/category/numerologie/).

Это же делает паук, построивший такой логарифмический дом — ловушку.

Ископаемые моллюски.

И современные моллюски, создающие свои дома в виде таких прочных раковин.

С меня нельзя взять молока, но зато у меня есть математически выверенные рога!

Спираль – обобщённый символ развития и вечного изменения путём сравнения с предшествующим состоянием и постепенного перехода из одного цикла в качественно другой (https://www.aum.news/ezoterika/2520-spiral-zhizni).

Существует предположение, что уплощённая спиралевидная форма Млечного пути и других галактик Вселенной обусловлена их вращением с образованием рукавов и хвостов под действием центробежных сил. Но может быть, такое строение Вселенной выбрал Создатель?

Для оценки реакций живых организмов на мгновенные раздражения в количественном виде используются специальные датчики и аппаратура, преобразующие эти реакции в измеряемые сигналы. Эти измеряемые сигналы имеют обычно большой динамический диапазон и могут искажаться в областях очень малых и очень больших значений из-за несовершенства применяемых приборов или физиологических ограничений органов чувств, как приёмных датчиков. Трудно переоценить важность таких исследований применительно к человеку. Ведь через органы чувств, посредством сравнения ощущений, формируются представления об окружающем мире.

Первый, кто серьезно стал заниматься cравнением физиологических реакций человека при внешних раздражениях, был немецкий психофизиолог Эрнст Вебер (1795 – 1878) . Им была экспериментально установлена обобщённая функциональная зависимость между силой физических раздражителей и вызываемыми ими ощущениями при восприятии органами чувств (слуха, зрения, осязания). Опыты Вебера стали первым экспериментальным подтверждением теории порога, согласно которой существует момент начала возникновения физиологической и психологической реакции. Эта теория популярна и в наши дни. Для этого он сконструировал ряд приборов. Первая работа Вебера о закономерном соотношении между интенсивностью раздражения и динамикой ощущений увидела свет в 1834 г. Но тогда учёный мир не проявил интереса к революционной идее о математической зависимости между ощущениями и раздражителями.

Современник Эрнста Вебера немецкий физик, психолог и физиолог Густав Теодор Фехнер (1801–1887) познакомился со своим будущим коллегой, слушая его лекции по физиологии в Лейпцигском университете. Затем, будучи уже профессором физики Лейпцигского университета, в 1838 Фехнер опубликовал исследование о восприятии цвета человеком. Это исследование подтолкнуло его к философским размышлениям об отношении духовной и материальной субстанции. По свидетельству самого Фехнера, на него нашло прозрение, что дуалистическая связь души и тела может быть разрешена путем выявления функциональных взаимосвязей между ощущением, в виде психического проявления, и телесным возбуждением, вызванным соответствующим стимулом. В дальнейшем его работы были посвящены новым методам измерения ощущений и экспериментам, которые использовались для получения количественных соотношений между силой ощущения и величиной, вызвавшего его стимула (возбуждения).

На основе этих исследований Густав Фехнер в 1860 сформулировал эмпирический психофизический закон, согласно которому прирост силы ощущения пропорционален логарифму отношения энергий сравниваемых раздражителей. упрощённо можно сформулировать: «ощущение – пропорционально логарифму раздражения», то есть при увеличении силы воздействия в геометрической прогрессии (1, 2, 4, 8, 16 и т.д.) интенсивность ощущения увеличивается в арифметической прогрессии (0, 1, 2, 3, 4 и т. д.). Этот закон впоследствии стал именоваться законом Вебера-Фехнера, в знак признания заслуг обоих учёных в открытии этого универсального закона естествознания.

В развитие этого закона, Фехнер стал заниматься экспериментальной эстетикой, новой областью психологии. Сначала появилась его первая публикация об измерении эстетического суждения, а в 1876 вышло его «Введение в эстетику» (Vorschule der Ästhetik), вызвавшее широкую дискуссию. Заслугой Фехнера является также и то, что он, в процессе своих работ, пришёл к выводу о необходимости философских обобщений полученных экспериментальных результатов. В этих исследованиях Фехнер, как и его коллега Вебер, был не понят или недостаточно оценен. Это часто бывало с учёными, намного опередившими существующие представления.

График, отражающий характер закона Вебера-Фехнера. По осям координат отложены условные значения сил раздражения и ощущения (www.youtube.com/watch?v=gpjXji357Wc )

Под этот закон подпадают все человеческие ощущения: световые, звуковые, обонятельные, вкусовые, кожная тактильность и бесконечное множество психических реакций на то, что человека раздражает эмоционально (положительно или отрицательно). Некоторые количественные оценки психофизического характера подсознательно входят в жизнь, например при оценке эффективности научной деятельности учёных, как шутливо делал акад. Л.Д. Ландау, относя себя к «звёздам второй величины» (непонятно только по какому основанию он использовал логарифмическую шкалу – 10 или 2,512). Можно предположить, что в область действия закона Вебера-Фехнера входят многие явления в природе и обществе, где при сравнении участвуют органы чувств человека, то есть обязательно существуют логарифмическая связь между воздействием и реакцией на это воздействие.

Например, под действие закона Вебера–Фехнера может попасть и социально-экономическая сфера, в которой существуют материальные и психологические взаимодействия людей между собой, а также взаимоотношения личности и государства. Они также основаны на сравнениях в логарифмическом смысле. По их результатам устанавливается «минимальный» уровень жизни, вводится прогрессивное налогообложение, и осуществляются другие мероприятия в разных аспектах социальной жизни и устройства современного общества. Большинство законотворческих установлений и норм в социальной сфере сводятся, по существу, к компрессии значений величин в верхней части шкалы (в области высоких доходов) и приведение их в некое сравнимое соответствие со значениями величин в начальной части шкалы (в области низких доходов). А это описывается математически с помощью операции логарифмирования.

Сегодня на многочисленных примерах можно видеть принципиальную возможность перевода качественных сравнений в количественные и, тем самым, продемонстрировать универсальность и объективность сравнения в логарифмической форме во всех областях человеческого познания. Дело стоит «за малым»: описать и выбрать критерии для оценки параметра в данной области, классифицировать уровни параметра, задать число градаций и выбрать основание для логарифмической шкалы. И это «малое» может оказаться сложнейшей и долговременной проблемой.

 Автор Владимир Рыбин