Ферма и солнце

Все натуральное округлено, все искусственное угловато.

(О'Генри. "Квадратура круга")

№ 1 Какой  язык лучше?

«Конечно,  русский» -  скажете вы. И будете совершенно правы.  Вспомним  обычный  подсолнух,  по-русски  сразу ясно,   что он и все его семена  любят  жизнь под солнцем. На других языках он просто привязан  к   солнцу  (лат. helianthus,   англ.  sunflower,  фр. tournesol). Только  французское название tournesol,  дословно,   «поворачивающий на земле к солнцу», отражает умное   поведение подсолнуха в течение дня.  Но теперь посмотрим внутрь  и поинтересуемся, как ведут себя  дети,  т.е. семечки подсолнуха,    в течение всей его  жизни, от расцвета  до  уборки урожая. А пока это время не пришло, желтые лепестки подсолнуха радуют глаз, как   солнечные лучи.

А в середине, в желто-зеленой  корзинки цветка,  находится  самое  интересное.  Я имею в виду не семечки,  а их  расположение. Взгляните.

P1310989-2

В окруженной лепестками корзиночке  цветка подсолнуха   семечки выстаиваются  в строгом порядке, но не в  шеренги,  как солдаты,  а    расходятся   от центра   плавно закругляющимися  спиралями,  как девушки в русском танце.

P1310985-3 

Как справедливо заметил О'Генри: "Природа а движется по кругу. Искусство - по прямой линии. Все натуральное округлено, все искусственное угловато. Человек, заблудившийся в метель, сам того не сознавая, описывает круги; ноги горожанина, приученные к прямоугольным комнатам и площадям, уводят его по прямой линии прочь от него самого». Это  из его  рассказа «Квадратура Круга».   Кстати, великий Архимед  впервые описал спираль на словах и в уравнениях, когда экспериментально пытался  решить задачу определения  квадратуры   круга еще 200 лет до нашей эры. И по сей день она  остается   одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки. 

Domenico-Fetti_Archimedes_1620-2

«Задумавшийся Архимед». Картина Доменико Фетти,  1620 г. Дрезденская галерея.

Уравнение спирали Архимеда будет потом.  А пока  займемся  частным случаем уравнения  Обобщенной  Архимедовой  спирали.  Для этого вернемся  к спиралям  в корзинке подсолнуха    и отдадим дань  древнегреческому языку.

В природе существует филлотаксис,  или филлотаксия.  По-русски это    упорядоченное расположение листьев,  лепестков  или  семян растения (от древнегреческого phylllon «лист» и  taxis – «расположение»,  или  другое значение - «ответная реакция организма».

В корзинке цветка подсолнуха тоже происходит    филлотаксис.  (Нам здесь только  древнегреческого не хватало!) Лучше перейдем  на   краткий и  глобальный  язык  математики. «Математика  -  это язык» - как сказал Поль Дирак, когда его разбудили на заседании ученого совета  вопросом: «Сколько  часов надо  выделить студентам-физикам на изучение  французского языка?» 

Правда,  в современной математике остались греческие и латинские буквы,  мирно сосуществующие с  арабскими цифрами. Например, равномерные  сетки семян,  расположенных в корзинках цветов подсолнуха, описываются  в полярных координатах очень просто:   

 { r = сn ½ ;  ϴ= n 137,5 °  }

Где  r - радиус или расстояние от центра цветка;    n - номер семечка в корзинке,    c —константа;  ϴ - полярный угол.

А когда  это уравнение используется в компьютерной графике,  на выходе получается  картинка, приятная глазу современного  читателя.

Распределение  семечек в корзинке цветка спелого подсолнуха в природе  и в компьютерной модели филлотаксиса.  

P1310988-2

Это была  краткая информация  для очень  занятых   читателей.   А те,  у кого есть время интересоваться  подробностями и практическим использованием  филлотаксиса,   могут  прочесть  вторую часть. 

№2 Великий Ферма и его спираль  от 1636   до  2014 года

Когда  семечки нашего  подсолнуха   уже созрели и  стали все одного размера,  параметры  всех  спиралей становятся постоянными,   и  в корзинке  становятся видны  идеальные  спирали Ферма.

P1310988-3

Вы не ошиблись, Пьер  де Ферма (Pierre de Fermat,  1601-1665) -  это  известный французский   математик-юрист-полиглот и советник парламента,   который был одним  из  отцов аналитической  геометрии,  матанализа,  теории вероятностей,  теории чисел и много,   что мы изучали когда-то на физфаке. Не удивляйтесь такому широкому спектру деятельности,  Ферма жил в эпоху Просвещения.

Памятник Пьеру Ферма  в Бомон-де-Ломань.

Beaumont-de-Lomagne - Monuement à Fermat

Памятник Пьеру Ферма  в Бомон-де-Ломань.

Больше всего Ферма, конечно,    заинтриговал народ   одной из своих теорем,  сформулированной  в  общем виде на полях «Арифметики» Диофанта  в 1637 г.  С той поры  она тревожит умы  известных   математиков  и самонадеянных школьников, и   называется поэтому Великой Теоремой Ферма или Последней Теоремой Ферма.

pierre-de-fermet-stamp-170811-1

Теорема звучит  и  пишется с обманчивой простотой: «Для любого натурального  числа n>2 уравнение an + bn = cn    не имеет решений в целых ненулевых числах a, b, c» . Кажется, элементарно. Но  математики всех  стран и народов бились  над ее доказательством более 300 лет. И стала она  Великой.

А за год до этого,  в    1636 году,     Ферма сформулировал уравнение спирали,  которая  постоянно  встречается  в  живой природе.  Более того, спираль  Ферма нашла  свое практическое применение  в области  самых высоких технологий  нашего   славного XXI века.

Позвольте мне ее напомнить. Ведь  мы  изучали спираль Ферма когда нам было  18 лет,  и мы списывали эти  формулы с черной доски, где они появлялись  из под руки доцента   Шишкина,  грозы физфака МГУ,  любимого героя студенческих анекдотов  и,   говорят,  потомка  знаменитого художника. Как все переплетено в этом мире!

Fermat- TAN

Так выглядела  спираль    Ферма без прикрас (в эпоху  Просвещения и СССР ).

Спираль Ферма (она же параболическая спираль)   является  частным  случаем уравнения Обобщенной  Архимедовой  спирали:  

 r = b + 1/

Где r – радиус или расстояние от центра; ϴ – полярный угол;   n - индексный номер;  а и b постоянные масштабные коэффициенты. Изменения b  приводят к повороту спирали; a  задает расстояния между витками, которое является константой для данной конкретной  спирали.  Но спираль Архимеда, как и   сам Архимед заслуживают отдельного   рассказа.

Спираль Ферма (она же параболическая спираль)  описывается простейшим уравнением в полярных координатах: 

 r = ± ϴ ½  или   r2 = a2 ϴ

Теперь   вернемся к цветочкам. В 1979 немецкий гельминтолог   Ханс Фогель (Hans Vogel;1900-1980) предложил модель для распределения семян в корзинке цветка подсолнечника и  маргаритки,  которая имеет вид спирали Ферма и записывается  в полярных координатах как:

{ r = сn ½ ;  ϴ= n 137,5 °  }

Иллюстрация модели Фогеля, где  n изменяется  от  1 до 500.

SunflowerModel-3

 Иллюстрация модели Фогеля, где  n изменяется  от  1 до 500.

Маргаритка - это же наша   аптечная  ромашка.

P1320671

 

 

В корзинках этих цветов тоже видна сетка спиралей  Ферма.

P1140794-1

Не знаю,  как называются  эти цветы,  но они нынче в моде.

P1140796-1

Так вот,   сетки семян в корзинках  всех этих цветов и подсолнуха       описываются   в полярных координатах как:  { r = сn ½ ;  ϴ= n 137,5 °  }

Где  r - радиус или расстояние от центра цветка;    n - номер семечка в корзинке, ,   c —константа;  ϴ - полярный угол.

Самым интересным в этих формулах является Золотой   угол  ϴ* = 2π (1 – φ) ≈ 137,5° где   φ – Золотое сечение (Золотая пропорция). которое аппроксимируется отношением чисел Фибоначчи.  Некоторые  авторы связывают появление термина  «Золотое сечение»  с Леонардо да Винчи.  Но растения не знают,  чьи имена носят законы,  по которым   они начали жить задолго  до  появления человечества.

Например,  так упорядоченно отклоняются друг от друга на  137,5° листья пальмы. 

P1160088-1

Этот снимок сделан в Малайзии,  там  каждый  день тропический  ливень, но тоже действует  закон  филлотаксиса. Каждый лист   поворачивается так, чтобы поглощать максимум солнечных лучей и при этом не мешать другим заниматься аналогичным фотосинтезом. У растений  более гуманные  законы борьбы за выживание.

Но вернемся в сухие  степи к  нашему подсолнуху и в наше - время IT и компьютерной графики.  

3 spirales 3

Здесь a – реальное распределение семечек   в корзинке   цветка; b – в центре по модели Фогеля, по бокам показаны распределения при разных углах ϴ .

с компьютерная модель  филлотаксиса - спирально- симметричного распределения семян в корзиночках подсолнуха и маргаритки, подчиняющегося  уравнению спирали  Ферма { r = сn ½ ϴ= n 137,5 °  }.

Ну и что? –скажете вы в заключение.  На вкус  подсолнечного масла эти спирали  не влияют. 

 А теперь, знаете ли вы,  что в    наше время  спираль Фема и модель  Фогеля  используются строителями  солнечных электростанций? Эти гигантские современные  сооружения  преобразуют  солнечную радиацию в электрическую энергию. Крупнейшие  фотоэлектрические установки в мире состоят из 9 000 000 солнечных модулей. И расположены эти модули как семечки в корзинке подсолнуха.     Спираль Ферма   оказалась самой эффективной   компоновкой зеркал концентраторов  солнечных электростанций!

Crescent_Dunes_Solar_December_2014-2

Концентратор в Кресчент Дюнс  

При аэрофотосъемке   концентратор кажется  корзинкой гигантского цветка подсолнуха. Только вместо семечек в нем  солнечные модули. Так спираль Ферма, уравнение корой было написано в 1636 году,  оказалась самой эффективной  при  компоновке  зеркал концентраторов  солнечной  электростанции  в 2014 г .

Знал бы об этом Ферма, живший в далекую эпоху Просвещения!

Автор Татьяна Бойко-Назарова

Продолжение следует

Навигация

Следующая статья:

Если вам понравилась наша статья, поделитесь, пожалуйста, ею с вашими друзьями в соц.сетях. Спасибо.
К записи "Ферма и солнце" оставлено 10 коммент.
  1. Tatiana:

    Интересные наблюдения и исследование этой темы! Да… Природа каждый раз удивляет своей закономерностью, логичностью и гармонией…

  2. очень интересная статья,я про экономичность как фундаментальный принцип в эволюции техники думаю давно, вспомнил свою статью 2002 года, где в одной из моделей нашёл числа Фидия https://triz-journal.com/functional-resource-approach-forecasting-technical-systems-evolution-fragment-book-evolution-technologies-chapter-graphic-numerical-methods-based-approach/

    • Татьяна Бойко-Назарова:

      Юра, спасибо за интереснейший комментарий. Извини за опоздание с ответом, читала твою стаю «Функционально-ресурсный подход к прогнозированию эволюции технических систем — фрагмент из книги «Эволюция технологий», глава «Графический и численный методы на основе подхода к прогнозированию задач. б Очень интересно и красиво связана классическая философия, математика и ТРИЗ. Кстати, о Фидии, говорят он бы отцом Архимеда . А сам Архимед мог бы считаться первым ТРИЗ-овцем. Если бы раньше выдавали патенты на изобретения, то на первом месте стоял бы Архимед, а на втором Эдисон. Догоняйте!

  3. Очень интересно! Закономерности природы, эстетические и математические. Найти между ними связь это достижение! Спасибо, Таня

    • Татьяна Бойко-Назарова:

      Рада вам Маргарита. И это вам спасибо, я боялась, что большинству это будет не интересно. Писала для себя. Просто вспомнились студенческие годы с черной доской, скрипучим мелом, конспектами написанными от руки. И прекрасными лекторами физфака МГУ. Нас так учили, что до сих пор все без Гугла помним.

      • Владимир:

        Добрый день, Таня! Хочу дополнить отзыв Маргариты своей радостью от прочтения Вашего очерка. Вы затронули интереснейшую тему и прекрасно её прокомментировали. Применительно к биологическим организмам она изучалась в XIX веке немецкими физиологами Вебером и Фехнером, которые экспериментально установили закон логарифмического соответствия между физиологическим раздражением и реакцией на него. Могу поделиться с Вами некоторыми соображениями по электронной почте. Спасибо!

        • Татьяна Бойко-Назарова:

          Владимир, здравствуйте. Спасибо за одобрение затронутой мной темы. И спасибо за ее развитие. Я не сильная в физиологии, хотя это интереснейшая область, и о работах Вебера и Фехнера впервые узнаю от вас. Владимир, я буду очень благодарна, . если вы поделитесть своими соображениями со мной по мейлу. Но почему бы вам не написать на эту тему научно-популярную статью? Здесь на сайте собираются люди с аналитическим умом и неувядающей любознательностью. Пишите, мы Вас ждем . Ваша Таня

  4. София:

    Очень познавательный очерк! Похоже, что и брусчатка в нашем городе тоже положена по спирали Ферма! Параметр ϴ (тета) действительно сильно определяет структуру картинки — равномерность распределения элементов и количество тут «лопаток». Видимо, при золотом угле достигается наиболее плотная упаковка. Спасибо!

    • Татьяна Бойко-Назарова:

      А у нас в Кишиневе под руководством мэра Киртоакэ, к счастью, уже снятого по требованию жителей и задержанного офицерами Национального антикоррупционного центра, новую брусчатку положили прямыми рядами. Но при этом наоборот — гладкой стороной в землю, а необработанной и колючей под ноги несчастных пешеходов. Так что, новая прогулочная зона напоминает дорогу пыток, по ней можно ходить только в горных ботинках. Жаль, что наши подсолнухи более умны и образованы, чем руководители. Поэтому я и пишу в основном «о цветочках.

Оставить свой комментарий

Посетите наши страницы в социальных сетях!

ВКонтакте.      Facebook.      Одноклассники.      RSS.
Вверх
© 2017    Копирование материалов сайта разрешено только при наличии активной ссылки   //    Войти