Ферма и солнце

Все натуральное округлено, все искусственное угловато.

(О’Генри. «Квадратура круга»)

№ 1 Какой  язык лучше?

«Конечно,  русский» —  скажете вы. И будете совершенно правы.  Вспомним  обычный  подсолнух,  по-русски  сразу ясно,   что он и все его семена  любят  жизнь под солнцем. На других языках он просто привязан  к   солнцу  (лат. helianthus,   англ.  sunflower,  фр. tournesol). Только  французское название tournesol,  дословно,   «поворачивающий на земле к солнцу», отражает умное   поведение подсолнуха в течение дня.  Но теперь посмотрим внутрь  и поинтересуемся, как ведут себя  дети,  т.е. семечки подсолнуха,    в течение всей его  жизни, от расцвета  до  уборки урожая. А пока это время не пришло, желтые лепестки подсолнуха радуют глаз, как   солнечные лучи.

А в середине, в желто-зеленой  корзинки цветка,  находится  самое  интересное.  Я имею в виду не семечки,  а их  расположение. Взгляните.

В окруженной лепестками корзиночке  цветка подсолнуха   семечки выстаиваются  в строгом порядке, но не в  шеренги,  как солдаты,  а    расходятся   от центра   плавно закругляющимися  спиралями,  как девушки в русском танце.

Как справедливо заметил О’Генри: «Природа а движется по кругу. Искусство — по прямой линии. Все натуральное округлено, все искусственное угловато. Человек, заблудившийся в метель, сам того не сознавая, описывает круги; ноги горожанина, приученные к прямоугольным комнатам и площадям, уводят его по прямой линии прочь от него самого». Это  из его  рассказа «Квадратура Круга».   Кстати, великий Архимед  впервые описал спираль на словах и в уравнениях, когда экспериментально пытался  решить задачу определения  квадратуры   круга еще 200 лет до нашей эры. И по сей день она  остается   одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки. 

«Задумавшийся Архимед». Картина Доменико Фетти,  1620 г. Дрезденская галерея.

Уравнение спирали Архимеда будет потом.  А пока  займемся  частным случаем уравнения  Обобщенной  Архимедовой  спирали.  Для этого вернемся  к спиралям  в корзинке подсолнуха    и отдадим дань  древнегреческому языку.

В природе существует филлотаксис,  или филлотаксия.  По-русски это    упорядоченное расположение листьев,  лепестков  или  семян растения (от древнегреческого phylllon «лист» и  taxis – «расположение»,  или  другое значение — «ответная реакция организма».

В корзинке цветка подсолнуха тоже происходит    филлотаксис.  (Нам здесь только  древнегреческого не хватало!) Лучше перейдем  на   краткий и  глобальный  язык  математики. «Математика  —  это язык» — как сказал Поль Дирак, когда его разбудили на заседании ученого совета  вопросом: «Сколько  часов надо  выделить студентам-физикам на изучение  французского языка?» 

Правда,  в современной математике остались греческие и латинские буквы,  мирно сосуществующие с  арабскими цифрами. Например, равномерные  сетки семян,  расположенных в корзинках цветов подсолнуха, описываются  в полярных координатах очень просто:   

 { r = сn ^½ ;  ϴ= n 137,5 ^°  }

Где  r — радиус или расстояние от центра цветка;    n — номер семечка в корзинке,    c —константа;  ϴ — полярный угол.

А когда  это уравнение используется в компьютерной графике,  на выходе получается  картинка, приятная глазу современного  читателя.

Распределение  семечек в корзинке цветка спелого подсолнуха в природе  и в компьютерной модели филлотаксиса.  

Это была  краткая информация  для очень  занятых   читателей.   А те,  у кого есть время интересоваться  подробностями и практическим использованием  филлотаксиса,   могут  прочесть  вторую часть. 

№2 Великий Ферма и его спираль  от 1636   до  2014 года

Когда  семечки нашего  подсолнуха   уже созрели и  стали все одного размера,  параметры  всех  спиралей становятся постоянными,   и  в корзинке  становятся видны  идеальные  спирали Ферма.

Вы не ошиблись, Пьер  де Ферма (Pierre de Fermat,  1601-1665) —  это  известный французский   математик-юрист-полиглот и советник парламента,   который был одним  из  отцов аналитической  геометрии,  матанализа,  теории вероятностей,  теории чисел и много,   что мы изучали когда-то на физфаке. Не удивляйтесь такому широкому спектру деятельности,  Ферма жил в эпоху Просвещения.

Памятник Пьеру Ферма  в Бомон-де-Ломань.

Памятник Пьеру Ферма  в Бомон-де-Ломань.

Больше всего Ферма, конечно,    заинтриговал народ   одной из своих теорем,  сформулированной  в  общем виде на полях «Арифметики» Диофанта  в 1637 г.  С той поры  она тревожит умы  известных   математиков  и самонадеянных школьников, и   называется поэтому Великой Теоремой Ферма или Последней Теоремой Ферма.

Теорема звучит  и  пишется с обманчивой простотой: «Для любого натурального  числа n>2 уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ    не имеет решений в целых ненулевых числах a, b, c» . Кажется, элементарно. Но  математики всех  стран и народов бились  над ее доказательством более 300 лет. И стала она  Великой.

А за год до этого,  в    1636 году,     Ферма сформулировал уравнение спирали,  которая  постоянно  встречается  в  живой природе.  Более того, спираль  Ферма нашла  свое практическое применение  в области  самых высоких технологий  нашего   славного XXI века.

Позвольте мне ее напомнить. Ведь  мы  изучали спираль Ферма когда нам было  18 лет,  и мы списывали эти  формулы с черной доски, где они появлялись  из под руки доцента   Шишкина,  грозы физфака МГУ,  любимого героя студенческих анекдотов  и,   говорят,  потомка  знаменитого художника. Как все переплетено в этом мире!

Так выглядела  спираль    Ферма без прикрас (в эпоху  Просвещения и СССР ).

Спираль Ферма (она же параболическая спираль)   является  частным  случаем уравнения Обобщенной  Архимедовой  спирали:  

 r = b + aϴ^1/n 

Где r – радиус или расстояние от центра; ϴ – полярный угол;   n — индексный номер;  а и b постоянные масштабные коэффициенты. Изменения b  приводят к повороту спирали; a  задает расстояния между витками, которое является константой для данной конкретной  спирали.  Но спираль Архимеда, как и   сам Архимед заслуживают отдельного   рассказа.

Спираль Ферма (она же параболическая спираль)  описывается простейшим уравнением в полярных координатах: 

 r = ± ϴ ^½  или   r² = a² ϴ

Теперь   вернемся к цветочкам. В 1979 немецкий гельминтолог   Ханс Фогель (Hans Vogel;1900-1980) предложил модель для распределения семян в корзинке цветка подсолнечника и  маргаритки,  которая имеет вид спирали Ферма и записывается  в полярных координатах как:

{ r = сn ^½ ;  ϴ= n 137,5 ^°  }

Иллюстрация модели Фогеля, где  n изменяется  от  1 до 500.

 Иллюстрация модели Фогеля, где  n изменяется  от  1 до 500.

Маргаритка — это же наша   аптечная  ромашка.

В корзинках этих цветов тоже видна сетка спиралей  Ферма.

Не знаю,  как называются  эти цветы,  но они нынче в моде.

Так вот,   сетки семян в корзинках  всех этих цветов и подсолнуха       описываются   в полярных координатах как:  { r = сn ^½ ;  ϴ= n 137,5 ^°  }

Где  r — радиус или расстояние от центра цветка;    n — номер семечка в корзинке, ,   c —константа;  ϴ — полярный угол.

Самым интересным в этих формулах является Золотой   угол  ϴ* = 2π (1 – φ) ≈ 137,5° где   φ – Золотое сечение (Золотая пропорция). которое аппроксимируется отношением чисел Фибоначчи.  Некоторые  авторы связывают появление термина  «Золотое сечение»  с Леонардо да Винчи.  Но растения не знают,  чьи имена носят законы,  по которым   они начали жить задолго  до  появления человечества.

Например,  так упорядоченно отклоняются друг от друга на  137,5° листья пальмы. 

Этот снимок сделан в Малайзии,  там  каждый  день тропический  ливень, но тоже действует  закон  филлотаксиса. Каждый лист   поворачивается так, чтобы поглощать максимум солнечных лучей и при этом не мешать другим заниматься аналогичным фотосинтезом. У растений  более гуманные  законы борьбы за выживание.

Но вернемся в сухие  степи к  нашему подсолнуху и в наше — время IT и компьютерной графики.  

Здесь a – реальное распределение семечек   в корзинке   цветка; b – в центре по модели Фогеля, по бокам показаны распределения при разных углах ϴ .

с – компьютерная модель  филлотаксиса — спирально- симметричного распределения семян в корзиночках подсолнуха и маргаритки, подчиняющегося  уравнению спирали  Ферма { r = сn ^½ ;  ϴ= n 137,5 ^°  }.

Ну и что? –скажете вы в заключение.  На вкус  подсолнечного масла эти спирали  не влияют. 

 А теперь, знаете ли вы,  что в    наше время  спираль Фема и модель  Фогеля  используются строителями  солнечных электростанций? Эти гигантские современные  сооружения  преобразуют  солнечную радиацию в электрическую энергию. Крупнейшие  фотоэлектрические установки в мире состоят из 9 000 000 солнечных модулей. И расположены эти модули как семечки в корзинке подсолнуха.     Спираль Ферма   оказалась самой эффективной   компоновкой зеркал концентраторов  солнечных электростанций!

Концентратор в Кресчент Дюнс  

При аэрофотосъемке   концентратор кажется  корзинкой гигантского цветка подсолнуха. Только вместо семечек в нем  солнечные модули. Так спираль Ферма, уравнение корой было написано в 1636 году,  оказалась самой эффективной  при  компоновке  зеркал концентраторов  солнечной  электростанции  в 2014 г .

Знал бы об этом Ферма, живший в далекую эпоху Просвещения!

Автор Татьяна Бойко-Назарова

Продолжение следует